Schönen guten Tag, meine Damen und Herren.

Wir haben am Freitag angefangen mit der Betrachtung der Spannungsverteilung.

Zunächst einmal bei gerader Biegung, wobei wir unter gerader Biegung die Biegung um eine der Hauptachsen verstehen wollen.

Das heißt, das Biegemoment wirkt um eine Achse, die in Richtung der Hauptachse, oder einer der beiden Hauptachsen des Querschnitts orientiert ist.

Und hatten dann aus geometrischen Symmetrieüberlegungen zunächst einmal festgestellt, dass für eine reine Momentenbelastung, konstantes Moment, ohne Querkraft, die einzig sinnvolle Verformungsfigur ein Kreisbogen sein muss.

Voraus dann folgt, dass Querschnitte, die ursprünglich senkrecht auf der Mittellinie stehen, auch senkrecht auf dieser Mittellinie bleiben, gerade und unverformt.

Und haben dann sozusagen die Annahme getroffen, dass das für schlanke Balken auch für nicht reine Biegung, also für Querkraft-Biegung gelten soll.

Das war diese Bernoulli-Hypothese.

Also Querschnitte, die vor der Verformung eben und senkrecht

zur Balkenachse waren, bleiben eben und senkrecht.

Das heißt, ein Balken, wenn er sich verformt, ich habe hier über X und Z in der Ausgangslage, ich habe hier die Balkenlängsachse, die Balkenachse, ein Querschnitt, der hier vorher senkrecht steht auf der Balkenachse,

also quer richtig dazu durchschneide, dann verformt sich der Balken irgendwie, naja, das soll natürlich so ungefähr aussehen, dann bleibt der Querschnitt hier,

der senkrechte bleibt weiterhin senkrecht und eben auf der Mittellinie. Das ist diese Annahme. Aus der Annahme folgt, dass die Verschiebung linear verteilt ist und damit auch die Dehnung linear über die Höhe ist.

Also das war die direkte Folge dieser Annahme, war, dass sich das Epsilon X, die Längsdehnung, irgendeine lineare Funktion über die Höhe ist, C2 mal Z.

Und Z läuft von oberer bis unterer Balkenkante, also von minus H halbe bis plus H halbe, wenn der Balken H hoch ist zum Beispiel und es ist irgendeine lineare Funktion, deren Konstanten wir noch nicht kennen.

Mit dem Huxchengesetz, also wenn ich elastisches Verhalten annehme, folgt daraus, dass dann auch die Spannung Sigma X, C1 plus C2 mal Z sind, also irgendein linearer Verlauf,

weil Sigma ist einfach E mal Epsilon, und dann kann ich das E da rein multiplizieren, dann wird aus dem C1 Stern mal E, das nenne ich halt C1, und C2 Stern mal E ist C2.

Da habe ich auch diesen linearen Verlauf. Gut, so weit waren wir am Freitag gekommen und wir wollen uns jetzt mal anschauen, wie man an diese Konstanten C1 und C2 rankommt.

Die müssen wir ja noch bestimmen und irgendwie in Verbindung setzen zu den Schnittgrößen, die wir ausrechnen können, also Querkraft, Normalkraft und Biegemoment.

Ja, und dazu schaut man sich mal so einen Querschnitt an. Ich habe hier, da muss nicht rechteckig sein, hier einen Balkenquerschnitt, ich habe hier Z nach unten, Y zur Seite, X nach vorne.

Das Koordinatensystem sei hier im Schwerpunkt der Fläche angebracht. Und jetzt nehme ich an, dass ich über diese Höhe oder über diesen Querschnitt so eine Spannungsverteilung habe, also Sigma X hier wirkt.

Und dann habe ich hier ein kleines Stückchen dA, ich mache das mal rot vielleicht. Und auf diesem Stückchen dA wirkt das Sigma X mal dA als kleine Kraft.

Ja, und jetzt kann ich die resultierenden Größen ausrechnen, indem ich über die Fläche integriere.

Die Schnittreaktionen resultieren aus der Spannungsverteilung.

Und ich bekomme hier, dass das die Normalkraft, einfach das Integral Sigma X dA ist.

Wenn ich das einfach aufsummiere, die ganzen Spannungen über die ganze Fläche, dann bekomme ich die Normalkraft.

Wenn ich das jetzt einsetze, Sigma X hier als C1 plus C2 mal Z, dann habe ich hier C1, eine Konstante, mal das Integral dA plus C2 mal das Integral Z dA hier.

Das gucken wir uns gleich an.

So, jetzt habe ich noch das Moment um die Z-Achse, das ist diese MZ.

Ein positives MZ dreht in Richtung der Z-Achse, das heißt so herum, also von X nach Y.

Nun ist allerdings bei einem positiven Hebelarm Y hier, den das hat, von der Z-Achse, die Drehrichtung einer positiven Spannung auf einem dA, also Sigma X dA, mal das Y negativ.

Das dreht sozusagen verkehrt herum, also ist das MZ minus Y mal Sigma X dA.

Wenn ich das einsetze, habe ich hier wieder C1, das Minus schreibe ich mal hier drüben hin, C1 Y dA plus C2 Y mal Z dA.

Und wir haben das MY, da habe ich hier den Abstand Z, ein positives MY dreht so herum, da hat ein positives Sigma X dA mit einem positiven Y dreht auch positiv herum, also habe ich hier Plus stehen.

Dann habe ich hier Z mal Sigma X dA, was C1 Z dA plus C2 Z² dA ist.

So und jetzt sieht man hier bei diesen Darstellungen, dass diese ganzen Flächenmomente auftauchen.

Ich habe hier das Flächenmoment nullter Ordnung, Integral dA, also Integral dA ist gleich die Fläche selber.

Ich habe hier das Integral Z dA, ich habe hier das Integral Y dA, das waren die statischen Flächenmomente oder die Flächenmomente der Erster Ordnung.

Und ich habe hier das Integral Z² dA und das Integral Yz dA.

Das sind diese Flächenträgerheitsmomente, mit denen wir uns so ausführlich beschäftigt haben in der letzten Woche.

Also da tauchen die auf, an der Stelle braucht man die.

So und jetzt sieht man auch, warum die Wahl eines Koordinatensystems im Schwerpunkt und in Hauptachsen so schön ist.

Also das Integral dA ist einfach die Fläche.

Für Koordinatensystem im Schwerpunkt ist das Integral Z dA gleich das Integral Y dA gleich null.

Das ist die Definition des Schwerpunktes, dass nämlich genau diese Integrale bezüglich des Schwerpunktes verschwinden.

Ja, so rechnet man ja den Schwerpunkt aus, dass man das verlangt.

Und für Koordinatensystem gleich Hauptachsensystem gilt auch noch, dass das Integral Yz dA, das war ja das Minus Iyz, gleich null ist.

Wenn das Hauptachsen sind, verschwindet das Deviationsmoment und es bleibt nicht viel übrig.

Gut, dann folgt.

Also das hier ist A.